2024年新高考1

本卷为官方高考数学真题（2024年新高考1），共 19 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

单选题（每题 5 分）（共 11 题）

1. 1. 已知集合= {x | −5 < x3 < 5}, B = {−3, −1, 0, 2, 3}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {−1, 0} B. {2, 3} C. {−3, −1, 0} (D) {−1, 0, 2}
2. 2. 若 z z −1 = 1 + i, 则z = ( ) 5分
   A. −1 −i B. −1 + i C. 1 −i D. 1 + i
3. 3. 已知向量a = (0, 1), b = (2, x), 若b ⊥(b −4a) 则x = ( ) 5分
   A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
4. 4. 已知cos(α + β) = m, tan α tan β = 2, 则cos(α −β) = ( ) 3 3 5分
   A. −3m B. −m C. m D. 3m
5. 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等, 侧面积相等, 且它们的高均为 √ 3, 则圆 锥的体积为 ( ) √ 3π √ 3π √ 3π √ 3π 5分
   A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
6. 6. 已知函数f(x) = { −x2 −2ax −a, x < 0, ex + ln(x + 1), x ⩾0, 在R 上单调递增, 则a 的取 值范围是 ( ) 5分
   A. (−∞, 0] B. [−1, 0] C. [−1, 1] D. [0, +∞)
7. 7. 当x ∈[0, 2π] 时, 曲线y = sin x 与y = 2 sin ( 3x −π 6 ) 的交点个数为( ) 5分
   A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
8. 8. 已知函数f(x) 的定义域为R, f(x) > f(x −1) + f(x −2), 且当x < 3 时 f(x) = x, 则下列结论中一定正确的是 ( ) 二、多选题 5分
   A. f(10) > 100 B. f(20) > 1000 (C) f(10) < 1000 (D) f(20) < 10000
9. 9. 随着“一带一路”国际合作的深入, 某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口. 为 了解推动出口后的亩收入(单位: 万元) 情况, 从该种植区抽取样本, 得到 推动出口后亩收入的样本均值x = 2.1, 样本方差s2 = 0.01. 已知该种植 区以往的亩收入X 服从正态分布N (1.8, 0.12), 假设推动出口后的亩收入 Y 服从正态分布N (x, s2), 则(若随机变量Z 服从正态分布N (µ, σ2), 则 P(Z < µ + σ) ≈0.8413) ( ) 5分
   A. P(X > 2) > 0.2 B. P(X > 2) < 0.5 C. P(Y > 2) > 0.5 D. P(Y > 2) < 0.8
10. 10. 设函数f(x) = (x −1)2(x −4), 则 ( ) 5分
    A. x = 3 是f(x) 的极小值点 B. 当0 < x < 1 时, f(x) < f(x2) C. 当1 < x < 2 时, −4 < f(2x −1) < 0 D. 当−1 < x < 0 时, f(2 −x) > f(x)
11. 11. 设计一条美丽的丝带, 其造型 可以看作图中曲线C 的一部分. 已知C 过 坐标原点O, 且C 上的点满足: 横坐标大于−2; 到点F(2, 0) 的距离与到 定直线x = a (a < 0) 的距离之积为4. 则 ( ) F x y C O √ 2, 0) 在C 上 4 x0 + 2 5分
    A. a = −2 B. 点(2 C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D. 当点(x0, y0) 在C 上时, y0 ⩽

填空题（每题 5 分）（共 3 题）

1. 1. 设双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为F1, F2, 过 F2 作平行于y 轴的直线交C 于A, B 两点. 若|F1A| = 13, |AB| = 10, 则 . 5分
   C. 的离心率为
2. 2. 若曲线y = ex + x 在点(0, 1) 处的切线也是曲线y = ln(x + 1) + a 的切线, 则a = . 5分
3. 3. 甲、乙两人各有四张卡片, 每张卡片上标有一个数字, 甲的卡片上分别标有 数字1, 3, 5, 7, 乙的卡片上分别标有数字2, 4, 6, 8. 两人进行四轮比赛. 在 每轮比赛中, 两人各自从自己持有的卡片中随机选一张, 并比较所选卡片 上数字的大小, 数字大的人得1 分, 数字小的人得0 分, 然后各自弃置此轮 所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用). 则四轮比赛后, 甲的 总得分不小于2 的概率为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 记△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c. 已知sin C = √ 2 cos B, a2 + b2 −c2 = √ 2ab. (1) 求B; (2) 若△ABC 的面积为3 + √ 3, 求c.
2. 2. 已知A(0, 3) 和P ( 3, 3 2 ) 为椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 上两点. (1) 求C 的率心率; (2) 若过P 的直线l 交C 于另一点B, 且△ABP 的面积为9, 求l 的方 程. 1207
3. 3. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, PA ⊥底面ABCD, PA = AC = 2, BC = 1, AB = √ 3. (1) 若AD ⊥PB, 证明: AD 平面PBC; (2) 若AD ⊥DC, 且二面角A −CP −D 的正弦值为 √ 42 7 , 求AD. A C B D P
4. 4. 已知函数f(x) = ln x 2 −x + ax + b(x −1)3. (1) 若b = 0, 且f ′(x) ⩾0, 求a 的最小值; (2) 证明: 曲线y = f(x) 是中心对称图形; (3) 若f(x) > −2 当且仅当1 < x < 2, 求b 的取值范围.
5. 5. 设m 为正整数, 数列a1, a2, · · · , a4m+2 是公差不为0 的等差数列, 若从中 删去两项ai 和aj (i < j) 后剩余的4m 项可被平均分为m 组, 且每组的4 个数都能构成等差数列, 则称数列a1, a2, · · · , a4m+2 是(i, j)−可分数列. (1) 写出所有的(i, j), 1 ⩽i < j ⩽6, 使得数列a1, a2, · · · , a6 是(i, j)−可 分数列; (2) 当m ⩾3 时, 证明: 数列a1, a2, · · · , a4m+2 是(2, 13)−可分数列; (3) 从1, 2, · · · , 4m + 2 中一次任取两个数i 和j (i < j), 记数列a1, a2, · · · , a4m+2 是(i, j)−可分数列的概率为Pm, 证明: Pm > 1 8. 1208

原卷配图（含真实几何/应用题图示）