2024年新高考2

本卷为官方高考数学真题（2024年新高考2），共 19 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

单选题（每题 5 分）（共 11 题）

1. 1. 已知z = −1 −i, 则|z| = ( ) (C) √ 2 5分
   A. 0 B. 1 D. 2
2. 2. 已知命题p: ∀x ∈R, |x + 1| > 1; 命题q: ∃x > 0, x3 = x. 则 ( ) 5分
   A. p 和q 都是真命题 B. ¬p 和q 都是真命题 C. p 和¬q 都是真命题 D. ¬p 和¬q 都是真命题
3. 3. 已知向量a, b 满足|a| = 1, |a + 2b| = 2, 且(b −2a) ⊥b, 则|b| = ( ) 2 (B) √ 2 2 (C) √ 3 2 5分
   A. 1 D. 1
4. 4. 某农业研究部门在面积相等的100 块稻田上种植一种新型水稻, 得到各块 稻田的亩产量(单位: kg) 并整理得下表: 亩产量 [900, 950) [950, 1000) [1000, 1050) 频数 6 12 18 亩产量 [1050, 1100) [1100, 1150) [1150, 1200) 频数 30 24 10 根据表中数据, 下列结论中正确的是 ( ) 5分
   A. 100 块稻田亩产量的中位数小于1050 kg B. 100 块稻田中亩产量低于1100 kg 的稻田所占比例超过80% C. 100 块稻田亩产量的极差介于200 kg 至300 kg 之间 D. 100 块稻田亩产量的平均值介于900 kg 至1000 kg 之间
5. 5. 已知曲线C: x2 + y2 = 16 (y > 0), 从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段 PP ′, P ′ 为垂足, 则线段PP ′ 的中点M 的轨迹方程为 ( ) 16 + y2 4 = 1 (y > 0) 16 + y2 8 = 1 (y > 0) 16 + x2 4 = 1 (y > 0) 16 + x2 8 = 1 (y > 0) 5分
   A. x2 B. x2 C. y2 D. y2
6. 6. 设函数f(x) = a(x + 1)2 −1, g(x) = cos x + 2ax. 当x ∈(−1, 1) 时, 曲线 y = f(x) 与y = g(x) 恰有一个交点. 则a = ( ) 2 5分
   A. −1 B. 1 C. 1 D. 2
7. 7. 已知正三棱台ABC −A1B1C1 的体积为52 3 , AB = 6, A1B1 = 2, 则A1A 与平面ABC 所成角的正切值为 ( ) 2 5分
   A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
8. 8. 设函数f(x) = (x + a) ln(x + b). 若f(x) ⩾0, 则a2 + b2 的最小值为( ) 8 4 2 二、多选题 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
9. 9. 对于函数f(x) = sin 2x 和g(x) = sin ( 2x −π 4 ) , 下列说法中正确的有( ) 5分
   A. f(x) 与g(x) 有相同的零点 B. f(x) 与g(x) 有相同的最大值 C. f(x) 与g(x) 有相同的最小正周期 D. f(x) 与g(x) 的图象有相同的对称轴
10. 10. 抛物线C: y2 = 4x 的准线为l, P 为C 上动点. 过P 作⊙A: x2 + (y −4)2 = 1 的一条切线, Q 为切点. 过P 作l 的垂线, 垂足为 ( ) √ 15 5分
    B. 则 A. l 与⊙A 相切 B. 当P, A, B 三点共线时, |PQ| = C. 当|PB| = 2 时, PA ⊥AB D. 满足|PA| = |PB| 的点P 有且仅有2 个
11. 11. 设函数f(x) = 2x3 −3ax2 + 1, 则 ( ) 5分
    A. 当a > 1 时, f(x) 有三个零点 B. 当a < 0 时, x = 0 是f(x) 的极大值点 C. 存在a, b, 使得x = b 为曲线y = f(x) 的对称轴 D. 存在a, 使得点(1, f(1)) 为曲线y = f(x) 的对称中心

填空题（每题 5 分）（共 3 题）

1. 1. 记Sn 为等差数列{an} 的前n 项和. 若a3 + a4 = 7, 3a2 + a5 = 5, 则 S10 = . 5分
2. 2. 已知α 为第一象限角, β 为第三象限角, tan α + tan β = 4, tan α tan β = √ 2 + 1, 则sin(α + β) = . 5分
3. 3. 在如图的4 × 4 的方格表中选4 个方格, 要求每行和每列均恰有一个方格 被选中, 则共有 种选法. 在所有符合上述要求的选法中, 选中方格中 的4 个数之和的最大值是 . 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 记△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c, 已知sin A+ √ 3 cos A = 2. (1) 求A; (2) 若a = 2, √ 2b sin C = c sin 2B, 求△ABC 的周长.
2. 2. 已知函数f(x) = ex −ax −a3. (1) 当a = 1 时, 求曲线y = f(x) 在点(1, f(1)) 处的切线方程; (2) 若f(x) 有极小值, 且极小值小于0, 求a 的取值范围. 1209
3. 3. 如图, 平面四边形ABCD 中, AB = 8, CD = 3, AD = 5 √ 3, ∠ADC = 90◦, ∠BAD = 30◦, 点E, F 满足# » AE = 2 5 # » AD, # » AF = 1 2 # » AB, 将△AEF 沿EF 翻折至△PEF, 使得PC = 4 √ 3. (1) 证明: EF ⊥PD; (2) 求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值. A D P B F E C
4. 4. 某投篮比赛分为两个阶段, 每个参赛队由两名队员组成. 比赛具体规则如 下: 第一阶段由参赛队中一名队员投篮3 次, 若3 次都未投中, 则该队被淘 汰, 比赛成绩为0 分; 若至少投中1 次, 则该队进入第二阶段. 第二阶段由 该队的另一名队员投篮3 次, 每次投篮投中得5 分, 未投中得0 分. 该队 的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成, 设 甲每次投中的概率为p, 乙每次投中的概率为q, 各次投中与否相互独立. (1) 若p = 0.4, q = 0.5, 甲参加第一阶段比赛, 求甲、乙所在队的比赛成绩 不少于5 分的概率; (2) 假设0 < p < q. ①为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率最大, 应该由谁参 加第一阶段比赛? ②为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大, 应该由谁参加第 一阶段比赛?
5. 5. 已知双曲线C: x2 −y2 = m (m > 0), 点P1(5, 4) 在C 上, k 为常数, 0 < k < 1. 按照如下方式依次构造点Pn (n = 2, 3, · · · ): 过点Pn−1 作斜 率为k 的直线与C 的左支点交于点Qn−1, 令Pn 为Qn−1 关于y 轴的对 称点. 记Pn 的坐标为(xn, yn). (1) 若k = 1 2, 求x2, y2; (2) 证明: 数列{xn −yn} 是公比为1 + k 1 −k 的等比数列; (3) 设Sn 为△PnPn+1Pn+2 的面积. 证明: 对于任意正整数n, Sn = Sn+1. 1210

原卷配图（含真实几何/应用题图示）