2025年上海

本卷为官方高考数学真题（2025年上海），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知全集U = {x | 2 ⩽x ⩽5, x ∈R}, 若集合A = {x | 2 ⩽x < 4, x ∈ R}, 则A = . 5分
2. 2. 设x ∈R, 不等式x −1 x −3 < 0 的解集为 . 5分
3. 3. 若等差数列{an} 的首项a1 = −3, 公差d = 2, 则该数列的前6 项的和 为 . 5分
4. 4. 在(2x −1)5 的二项展开式中, x3 项的系数为 . 5分
5. 5. 函数y = cos x, x ∈ [ −π 2 , π 4 ] 的值域为 . 5分
6. 6. 若随机变量X 的分布为 ( 5 6 7 0.2 0.3 0.5 ) , 则期望E(X) = . 5分
7. 7. 在正四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, 若AC = 4 √ 2, BD1 = 9, 则其体积 为 . A B C D A1 B1 C1 D1 5分
8. 8. 设a、b > 0, 若a + 1 . 5分
   B. = 1, 则b + 1 A. 的最小值为
9. 9. 有4 名家长和2 名儿童去郊游爬山. 若6 个人要排成一队列, 要求队列的 首和尾均是家长, 则不同的排列方式共有 种. 5分
10. 10. i 为虚数单位, 若复数z 满足z2 = (z)2, 且|z| ⩽1, 则|z −2 −3i| 的最小 值为 . 5分
11. 11. 小申同学观察发现, 生活中有时候影子可以完全投射在斜面上. 某斜面上 有两根长为1 米且垂直于水平面放置的杆子, 与斜面的接触点分别为A、 B, 它们在阳光的照射下呈现出影子, 阳光可视为平行光, 其中A 处杆子 的影子在水平面上, 长度为0.4 米, B 处杆子的影子完全在斜面上, 长度为 0.45 米. 则斜面的坡角θ = . (结果精确到0.01◦) B A θ 平行阳光 杆 杆 5分
12. 12. 已知f (x) =        1, x > 0, 0, x = 0, −1, x < 0, 向量a, b, c 是平面内三个不同的单位向量, 若f (a · b) + f (b · c) + f (c · a) = 0, 则|a + b + c| 的取值范围是 . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知事件A、B 相互独立, 若P (A) = P (B) = 1 2, 则P (A ∩B) 的值为( ) 4 2 5分
   A. 0 B. 1 C. 1 D. 1
2. 2. 已知a > 0 且a̸ = 1, s ∈R, 下列各项中, 能推出as > a 的是 ( ) 5分
   A. a > 1, s > 0 B. a > 1, s < 0 C. 0 < a < 1, s > 0 D. 0 < a < 1, s < 0
3. 3. 已知点A (0, 1), B (1, 2), 若动点C 在曲线x2 −y2 = 1 (x ⩾1, y ⩾0) 上, 则△ABC 的面积 ( ) 5分
   A. 有最大值, 无最小值 B. 无最大值, 有最小值 C. 有最大值, 有最小值 D. 无最大值, 无最小值
4. 4. 设λ ∈R, 数列{an}, {bn}, {cn} 满足an = 10n −9, bn = 2n, cn = λan + (1 −λ) bn. 若对任意的λ ∈[0, 1], an, bn, cn 均能作为三角 形的三边长, 则满足条件的正整数n 有 ( ) 5分
   A. 1 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 无穷多个

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 2024 年东京奥运会, 中国获得了男子4 × 100 米混合泳接力金牌, 以下是 历届奥运会男子4×100 米混合泳接力项目冠军成绩(单位: 秒), 数据按照 升序排列. 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1) 求这组数据的极差与中位数; (2) 从这10 个数据中任选3 个, 求恰有2 个数据大于211 的概率; (3) 若比赛成绩y 关于年份x 的回归方程为y = −0.311x +ˆb, 年份x 的平 均数为2006, 请预测2028 年男子4 × 100 米混合泳接力项目冠军队的成 绩. (结果精确到0.01 秒)
2. 2. 如图, 点P 是圆锥的顶点, 点O 是底面圆心, 底面直径AB = 2. (1) 若直线PA 与圆锥底面所成角为π 3 , 求圆锥的侧面积; (2) 若Q 是母线PA 的中点, 点C、D 在底面圆周上, AC 弧长为π 3 , CD AB, 点T 在线段OC 上, 求证: 直线QT 平面PBD. A B O P • 1213
3. 3. 设m ∈R, f (x) = x2 −(m + 2) x + m ln x. (1) 若f (1) = 0, 求不等式f (x) ⩽x2 −1 的解集; (2) 若y = f (x) 在区间(0, +∞) 上存在极大值, 求m 的取值范围.
4. 4. 设椭圆Γ: x2 a2 + y2 5 = 1 (a > √ 5), 点A 为Γ 的右顶点, 点M (0, m) (m > 0). (1) 若Γ 的一个焦点是(2, 0), 求Γ 的离心率; (2) 设a = 4, 椭圆Γ 上存在一点P 满足# » PA = 2# » MP, 求m 的值; (3) 若线段AM 的中垂线l 的斜率为2, l 与椭圆Γ 交于C、D 两点, 且 ∠CMD 为钝角, 求a 的取值范围.
5. 5. 已知函数y = f (x) 的定义域为R, 对于正实数a, 定义集合Ma = {x | f (x + a) = f (x) , x ∈R}. (1) 设f (x) = sin x, 判断π 3 是否是Mπ 中的元素, 并说明理由; (2) 设f (x) = { x + 2, x < 0, √x, x ⩾0, 且Ma̸ = ∅, 求a 的取值范围; (3) 若y = f (x) 是偶函数, 当x ∈(0, 1] 时, f (x) = 1 −x, 且对任意 对任意实数c, 函数y = f (x) −c 在区间[−3, 3] 上至多有9 个零点. 1214

原卷配图（含真实几何/应用题图示）