2025年全国一卷

本卷为官方高考数学真题（2025年全国一卷），共 19 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

单选题（每题 5 分）（共 11 题）

1. 1. (1 + 5i) i 的虚部为 ( ) 5分
   A. −1 B. 0 C. 1 D. 6
2. 2. 已知集合U = {x | x 是小于9 的正整数}, A = {1, 3, 5}, 则∁UA 中元素 的个数为 ( ) 5分
   A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
3. 3. 已知双曲线C 的虚轴长是实轴长的 √ 7 倍, 则C 的离心率为 ( ) (A) √ 2 (C) √ 7 √ 2 5分
   B. 2 D. 2
4. 4. 已知点(a, 0) (a > 0) 是函数y = 2 tan ( x −π 3 ) 的图象的一个对称中心, 则a 的最小值为 ( ) 6 3 2 3 5分
   A. π B. π C. π D. 4π
5. 5. 已知f (x) 是定义在R 上且周期为2 的偶函数, 当2 ⩽x ⩽3 时, ( −3 4 ) = ( ) 2 4 4 2 5分
   F. (x) = 5 −2x, 则f A. −1 B. −1 C. 1 D. 1
6. 6. 帆船比赛中, 运动员可借助风力计测定风速的大小与方向, 测出的结果在 航海学中称为视风风速. 视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船 行风风速对应的向量之和, 其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量 大小相等、方向相反. 图1 给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应 关系. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应 的向量如图2 所示(线段长度代表速度大小, 单位: m/s), 则该时刻的真风 为 ( ) x y 视风风速 船速 O 1 级数 名称 风速大小(单位: m/s) 2 轻风 1.6 ∼3.3 3 微风 3.4 ∼5.4 4 和风 5.5 ∼7.9 5 劲风 8.0 ∼10.7 2 3 1 图2 图1 2 3 5分
   A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
7. 7. 已知圆x2 + (y + 2)2 = r2 (r > 0) 上到直线y = √ 3x + 2 的距离为1 的点 有且仅有两个, 则r 的取值范围是 ( ) 5分
   A. (0, 1) B. (1, 3) C. (3, +∞) D. (0, +∞)
8. 8. 已知2+log2x = 3+log3y = 5+log5z, 则x, y, z 的大小关系不可能为( ) 二、多选题 5分
   A. x > y > z B. x > z > y C. y > x > z D. y > z > x
9. 9. 在正三棱柱ABC −A1B1C1 中, D 为BC 的中点, 则 ( ) A1B1 平面AA1D 5分
   A. AD ⊥A1C B. B1C1 ⊥平面AA1D C. AD D. CC1
10. 10. 已知抛物线C: y2 = 6x 的焦点为F, 过F 的一条直线交C 于A, B 两点, 过A 作直线l: x = −3 2 的垂线, 垂足为D, 过F 且与直线AB 垂直的直 线交l 于点E, 则 ( ) 5分
    A. |AD| = |AF| B. |AE| = |AB| C. |AB| ⩾6 D. |AE| · |BE| ⩾18
11. 11. 已知△ABC 的面积为1 4, cos 2A+cos 2B+2 sin C = 2, cos A cos B sin C = 1 4, 则 ( ) √ 2 √ 6 2 5分
    A. sin C = sin2A + sin2B B. AB = C. sin A + sin B = D. AC2 + BC2 = 3

填空题（每题 5 分）（共 3 题）

1. 1. 若直线y = 2x + 5 是曲线y = ex + x + a 的一条切线, 则a = . 5分
2. 2. 若一个等比数列的各项均为正数, 且前4 项的和等于4, 前8 项的和等于 68, 则这个数列的公比等于 . 5分
3. 3. 有5 个相同的球, 分别标有数字1, 2, 3, 4, 5, 从中有放回地随机取3 次, 每 次取1 个球. 记X 为这5 个球中至少被取出1 次的球的个数, 则X 的数 学期望E (X) = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系, 从做过超声波检查的人群中随机 调查了1000 人, 得到如下列联表: 组别 超声波检查结果 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p, 求p 的估计值; (2) 根据小概率值α = 0.001 的独立性检验, 分析超声波检查结果是否与患 该疾病有关. 附: χ2 = n(ad −bc)2 P(χ2 ⩾k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 .
2. 2. 已知数列{an} 中, a1 = 3, an+1 n = an n + 1 + 1 n (n + 1). (1) 证明: 数列{nan} 是等差数列; (2) 给定正整数m, 设函数f (x) = a1x + a2x2 + · · · + amxm, 求f ′ (−2). 1217
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, PA ⊥底面ABCD, AB ⊥AD, BC AD. (1) 证明: 平面PAB ⊥平面PAD; (2) 设PA = AB = √ 2, BC = 2, AD = 1 + √ 3, 且点P, B, C, D 均在球 O 的球面上. ①证明: 点O 在平面ABCD 内; ②求直线AC 与PO 所成角的余弦值. A P B C D
4. 4. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为2 √ 2 3 , 下顶点为A, 右 顶点为B, |AB| = √ 10. (1) 求C 的方程; (2) 已知动点P 不在y 轴上, 点R 在射线AP 上, 且满足|AP| · |AR| = 3. ①设P (m, n), 求R 的坐标(用m, n 表示); ②设O 为坐标原点, Q 是C 上的动点, 直线OR 的斜率是直线OP 的斜率的3 倍, 求|PQ| 的最大值.
5. 5. (1) 求函数f (x) = 5 cos x −cos 5x 在区间 [ 0, π 4 ] 的最大值; (2) 给定θ ∈(0, π) 和a ∈R, 证明: 存在y ∈[a −θ, a + θ] 使得 cos y ⩽cos θ; (3) 设b ∈R, 若存在φ ∈R 使得5 cos x −cos (5x + φ) ⩽b 对x ∈R 恒 成立, 求b 的最小值. 1218

原卷配图（含真实几何/应用题图示）