2025年全国二卷

本卷为官方高考数学真题（2025年全国二卷），共 19 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

单选题（每题 5 分）（共 11 题）

1. 1. 样本数据2, 8, 14, 16, 20 的平均数为 ( ) 5分
   A. 8 B. 9 C. 12 D. 18
2. 2. 已知z = 1 + i, 则 1 z −1 = ( ) 5分
   A. −i B. i C. −1 D. 1
3. 3. 已知集合A = {−4, 0, 1, 2, 8}, B = {x | x3 = x}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {0, 1, 2} B. {1, 2, 8} C. {2, 8} D. {0, 1}
4. 4. 不等式x −4 x −1 ⩾2 的解集是 ( ) 5分
   A. {x | −2 ⩽x ⩽1} B. {x | x ⩽−2} C. {x | −2 ⩽x < 1} D. {x | x > 1}
5. 5. 在△ABC 中, BC = 2, AC = 1 + √ 3, AB = √ 6, 则A = ( ) 5分
   A. 45◦ B. 60◦ C. 120◦ D. 135◦
6. 6. 设抛物线C: y2 = 2px (p > 0) 的焦点为F, 点A 在C 上, 过A 作C 的 准线的垂线, 垂足为B. 若直线BF 的方程为y = −2x + 2, 则|AF| =( ) 5分
   A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 7. 记Sn 为等差数列{an} 的前n 项和. 若S3 = 6, S5 = −5, 则S6 = ( ) 5分
   A. −20 B. −15 C. −10 D. −5
8. 8. 已知0 < α < π, cos α 2 = √ 5 5 , 则sin ( α −π 4 ) = ( ) (A) √ 2 10 (B) √ 2 5 √ 2 10 √ 2 10 二、多选题 5分
   C. 3 D. 7
9. 9. 记Sn 为等比数列{an} 的前n 项和, q 为{an} 的公比, q > 0. 若S3 = 7, a3 = 1, 则 ( ) 2 9 5分
   A. q = 1 B. a5 = 1 C. S5 = 8 D. an + Sn = 8
10. 10. 已知f (x) 是定义在R 上的奇函数, 且当x > 0 时, f (x) = (x2 −3) ex +2, 则 ( ) √ 3 5分
    A. f (0) = 0 B. 当x < 0 时, f (x) = −(x2 −3) e−x −2 C. f (x) ⩾2 当且仅当x ⩾ D. x = −1 是f (x) 的极大值点
11. 11. 双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为F1, F2, 左、 右顶点分别为A1, A2, 以F1F2 为直径的圆与C 的一条渐近线交于M, N 两点, 且∠NA1M = 5π 6 , 则 ( ) 6 √ 13 √ 2 时, 四边形NA1MA2 的面积为8 √ 3 5分
    A. ∠A1MA2 = π B. |MA1| = 2 |MA2| C. C 的离心率为 D. 当a =

填空题（每题 5 分）（共 3 题）

1. 1. 已知平面向量a = (x, 1), b = (x −1, 2x), 若a ⊥(a −b), 则|a| = . 5分
2. 2. 若x = 2 是函数f (x) = (x −1) (x −2) (x −a) 的极值点, 则 . 5分
   F. (0) =
3. 3. 一个底面半径为4 cm, 高为9 cm 的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不 计) 内有两个半径相等的铁球, 则铁球半径的最大值为 cm. 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 已知函数f (x) = cos (2x + φ) (0 ⩽φ < π), f (0) = 1 2. (1) 求φ; (2) 设函数g (x) = f (x) + f ( x −π 6 ) , 求g (x) 的值域和单调区间.
2. 2. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 2 2 , 长轴长为4. (1) 求C 的方程; (2) 过点(0, −2) 的直线l 与C 交于A, B 两点, O 为坐标原点. 若△OAB 的面积为 √ 2, 求|AB|. 1219
3. 3. 如图, 在四边形ABCD 中, AB CD, ∠DAB = 90◦, F 为CD 的中点, 点E 在AB 上, EF AD, AB = 3AD, CD = 2AD. 将四边形EFDA 沿EF 翻折至四边形EFD′A′, 使得面EFD′A′ 与面EFCB 所成的二面 角为60◦. (1) 证明: A′B 平面CD′F; (2) 求面BCD′ 与面EFD′A′ 所成的二面角的正弦值. A E B D F C A′ D′
4. 4. 已知函数f (x) = ln (1 + x) −x + 1 2x2 −kx3, 其中0 < k < 1 3. (1) 证明: f (x) 在区间(0, +∞) 存在唯一的极值点和唯一的零点; (2) 设x1, x2 分别为f (x) 在区间(0, +∞) 的极值点和零点. ①设函数g (t) = f (x1 + t) −f (x1 −t). 证明: g (t) 在区间(0, x1) 单 调递减; ②比较2x1 与x2 的大小, 并证明你的结论.
5. 5. 甲、乙两人进行乒乓球练习, 每个球胜者得1 分, 负者得0 分. 设每个球甲 胜的概率为p (1 2 < p < 1 ) , 乙胜的概率为q, p + q = 1, 且各球的胜负相 互独立. 对正整数k ⩾2, 记pk 为打完k 个球后甲比乙至少多得2 分的概 率, qk 为打完k 个球后乙比甲至少多得2 分的概率. (1) 求p3, p4 (用p 表示); (2) 若p4 −p3 q4 −q3 = 4, 求p; (3) 证明: 对任意正整数m, p2m+1 −q2m+1 < p2m −q2m < p2m+2 −q2m+2. 1220

原卷配图（含真实几何/应用题图示）