2025年北京

本卷为官方高考数学真题（2025年北京），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知集合M = {x | 2x −1 > 5}, N = {1, 2, 3}, 则M ∩N = ( ) 5分
   A. {1, 2, 3} B. {2, 3} C. {3} D. ∅
2. 2. 已知复数z 满足i · z + 2 = 2i, 则|z| = ( ) (A) √ 2 √ 2 5分
   B. 2 C. 4 D. 8
3. 3. 双曲线x2 −4y2 = 4 的离心率为 ( ) (A) √ 3 2 (B) √ 5 2 4 (D) √ 5 5分
   C. 5
4. 4. 为了得到函数y = 9x 的图象, 只需把函数y = 3x 的图象上所有点的( ) 2 倍(纵坐标不变) 3 倍(横坐标不变) 5分
   A. 横坐标变为原来的1 B. 横坐标变为原来的2 倍(纵坐标不变) C. 纵坐标变为原来的1 D. 纵坐标变为原来的3 倍(横坐标不变)
5. 5. 已知{an} 是公差不为零的等差数列, a1 = −2, 若a3, a4, a6 成等比数列, 则a10 = ( ) 5分
   A. −20 B. −18 C. 16 D. 18
6. 6. 已知a > 0, b > 0, 则 ( ) ab √ ab 2 √ ab 5分
   A. a2 + b2 > 2ab (B) 1 A. + 1 B. ⩾1 C. a + b > D. 1 A. + 1 B. ⩽
7. 7. 已知函数f (x) 的定义域为D, 则“f (x) 的值域为R”是“对任意M ∈R, 存在x0 ∈D, 使得|f (x0)| > M”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 8. 设函数f (x) = sin ωx + cos ωx (ω > 0), 若f (x + π) = f (x) 恒成立, 且 [ 0, π 4 ] 上存在零点, 则ω 的最小值为 ( ) 5分
   F. (x) 在 A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
9. 9. 在一定条件下, 某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的时 间T = klog2N (单位: h), 其中k 为常数. 在此条件下, 已知训练数据量 N 从106 个单位增加到1.024 × 109 个单位时, 训练时间增加20 h; 当训练 数据量N 从1.024 × 109 个单位增加到4.096 × 109 个单位时, 训练时间增 加 ( ) 5分
   A. 2 h B. 4 h C. 20 h D. 40 h
10. 10. 在平面直角坐标系xOy 中, # » OA  = # » OB  = √ 2, # » AB  = 2, 设C (3, 4), 则 2# » CA + # » AB  的取值范围是 ( ) 5分
    A. [6, 14] B. [6, 12] C. [8, 14] D. [8, 12]

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 已知抛物线y2 = 2px (p > 0) 的顶点到焦点的距离为3, 则p = . 5分
2. 2. 已知(1 −2x)4 = a0 −2a1x + 4a2x2 −8a3x3 + 16a4x4, 则a0 = ; a1 + a2 + a3 + a4 = . 5分
3. 3. 已知α, β ∈[0, 2π], 且sin (α + β) = sin (α −β), cos (α + β)̸ = cos (α −β). 写出满足条件的一组α, β 的值α = , β = . 5分
4. 4. 某科技兴趣小组用3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多 面体, 其中ABCDEF 是一个平面多边形, 平面AFR ⊥平面ABC, 平面 CDT ⊥平面ABC, AB ⊥BC, AB EF RS CD, BC DE ST AF. 若AB = BC = 8, AF = CD = 4, RA = RF = TC = TD = 5 2, 则 该多面体的体积为 . A F R S B E C D T 5分
5. 5. 关于定义域为R 的函数f (x), 给出下列四个结论: ①存在在R 上单调递增的函数f (x) 使得f (x) + f (2x) = −x 恒成立; ②存在在R 上单调递减的函数f (x) 使得f (x) −f (2x) = x 恒成立; ③使得f (x) + f (−x) = cos x 恒成立的函数f (x) 存在且有无穷多个; ④使得f (x) −f (−x) = cos x 恒成立的函数f (x) 存在且有无穷多个. 其中正确结论的序号是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, cos A = −1 3, a sin C = 4 √ 2. (1) 求c 的值; (2) 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知, 使得 △ABC 存在, 求BC 边上的高. 条件①: a = 6; 条件②: a sin B = 10 √ 2 3 ; 条件③: △ABC 的面积为10 √ 2.
2. 2. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, △ADC 与△BAC 均为等腰直角三角形, ∠ADC = 90◦, ∠BAC = 90◦, E 为BC 的中点. (1) 若F, G 分别为PD, PE 的中点, 求证: FG 平面PAB; (2) 若PA ⊥平面ABCD, PA = AC, 求直线AB 与平面PCD 所成角的 正弦值. A F G P B E C D
3. 3. 某次考试中, 只有一道单项选择题考查了某个知识点, 甲、乙两校的高一年 级学生都参加了这次考试. 为了解学生对该知识点的掌握情况, 随机抽查 了甲、乙两校高一年级各100 名学生该题的答题数据, 其中甲校学生选择 正确的人数为80, 乙校学生选择正确的人数为75. 假设学生之间答题相互 独立. 用频率估计概率. (1) 估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p; (2) 从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1 名. 设X 为这2 名学生中 该题选择正确的人数, 估计X = 1 的概率及X 的数学期望; (3) 假设: 如果没有掌握该知识点, 学生就从题目给出的四个选项中随机选 择一个作为答案; 如果掌握该知识点, 甲校学生选择正确的概率为100%, 乙校学生选择正确的概率为85%. 设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识 点的概率估计值分别为p1, p2, 判断p1 与p2 的大小. (结论不要求证明) 1211
4. 4. 已知椭圆E: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 2 2 , 椭圆E 上的点到 两焦点的距离之和为4. (1) 求椭圆E 的方程; (2) 设O 为坐标原点, 点M (x0, y0) (x0̸ = 0) 在椭圆E 上, 直线 x0x + 2y0y −4 = 0 与直线y = 2, y = −2 分别交于点A, B. 设 △OAM 和△OBM 的面积分别为S1, S2, 比较S1 S2 与|OA| |OB| 的大小.
5. 5. 已知函数f (x) 的定义域是(−1, +∞), f (0) = 0, 导函数f ′ (x) = ln (1 + x) 1 + x . 设l1 是曲线y = f (x) 在点A (a, f (a)) (a̸ = 0) 处的切 线. (1) 求f ′ (x) 的最大值; (2) 当−1 < a < 0 时, 证明: 除切点A 外, 曲线y = f (x) 在直线l1 的上 方; (3) 设过点A 的直线l2 与直线l1 垂直, l1, l2 与x 轴交点的横坐标分别是 x1, x2. 若a > 0, 求2a −x2 −x1 x2 −x1 的取值范围.
6. 6. 已知集合A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, M = {(x, y) | x ∈A, y ∈A}. 从 M 中选取n 个不同的元素组成一个序列: (x1, y1), (x2, y2), · · · , (xn, yn), 其中(xi, yi) 称为该序列的第i 项(i = 1, 2, · · · , n), 若该序列的相邻项 (xi, yi), (xi+1, yi+1) 满足 { |xi+1 −xi| = 3, |yi+1 −yi| = 4 或 { |xi+1 −xi| = 4, |yi+1 −yi| = 3 (i = 1, 2, · · · , n −1), 则称该序列为K 列. (1) 对于第1 项为(3, 3) 的K 列, 写出它的第2 项; (2) 设Γ 为K 列, 且Γ 中的项(xi, yi) (i = 1, 2, · · · , n) 满足: 当i 为 奇数时, xi ∈{1, 2, 7, 8}; 当i 为偶数时, xi ∈{3, 4, 5, 6}, 判断(3, 2), (4, 4) 能否同时为Γ 中的项, 并说明理由; (3) 证明: 由M 的全部元素组成的序列都不是K 列. 1212

原卷配图（含真实几何/应用题图示）