2025年天津

本卷为官方高考数学真题（2025年天津），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 9 题）

1. 1. 已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5}, 集合A = {1, 3}, B = {2, 3, 5}, 则 ∁U (A ∪B) = ( ) 5分
   A. {1, 2, 4, 5} B. {1, 3, 4} C. {1, 2, 3, 5} D. {4}
2. 2. 已知x ∈R, 则“x = 0”是“sin 2x = 0”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 已知函数y = f (x) 的部分图象如下, 则f (x) 的解析式可能为 ( ) x y 1 O x 1 −|x| x |x| −1 |x| 1 −x2 |x| x2 −1 5分
   A. f (x) = B. f (x) = C. f (x) = D. f (x) =
4. 4. 已知m 是一条直线, α, β 是两个平面. 下列命题正确的是 ( ) α, m β, 则α β α, m ⊥β, 则α ⊥β 5分
   A. 若m B. 若m ⊥α, m ⊥β, 则α ⊥β C. 若m D. 若α ⊥β, m ⊂α, 则m ⊥β
5. 5. 下列说法错误的是 ( ) 5分
   A. 若随机变量X ∼N (µ, σ2), 则P (X ⩽µ −σ) = P (X ⩾µ + σ) B. 若随机变量X ∼N (1, 22), Y ∼N (2, 22), 则P (X ⩽1) < P (Y ⩽2) C. 样本相关系数的绝对值越接近1, 则成对数据的线性相关程度越强 D. 样本相关系数的绝对值越接近0, 则成对数据的线性相关程度越弱
6. 6. 已知数列{an} 的前n 项和为Sn = −n2 + 8n, 则数列{|an|} 的前12 项和 为 ( ) 5分
   A. 144 B. 112 C. 80 D. 48
7. 7. 函数f (x) = 0.3x −√x 的零点所在的一个区间是 ( ) 5分
   A. (0, 0.3) B. (0.3, 0.5) C. (0.5, 1) D. (1, 2)
8. 8. 已知函数f (x) = sin (ωx + φ) (ω > 0, −π < φ < π) 在区间 [ −5π 12 , π 12 ] 上单调递增, 直线x = π 12 为曲线y = f (x) 的一条对称轴, 点 (π 3 , 0 ) 为曲 线y = f (x) 的一个对称中心, 则f (x) 在区间 [ 0, π 2 ] 上的最小值为 ( ) √ 3 2 2 5分
   A. − B. −1 C. −1 D. 0
9. 9. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为F1 和F2, 以 F2 为焦点的抛物线y2 = 2px (p > 0) 与双曲线在第一象限的交点为P. 若 |PF1| + |PF2| = 3 |F1F2|, 则双曲线的离心率为 ( ) (C) √ 2 + 1 2 (D) √ 5 + 1 2 5分
   A. 2 B. 5

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. i 是虚数单位,  3 −i i  = . 5分
2. 2. 在(x −1)6 的展开式中, x3 的系数为 . 5分
3. 3. 若直线x −y + 6 = 0 与x 轴交于点A, 与y 轴交于点B, 与圆 (x + 1)2 + (y −3)2 = r2 (r > 0) 交于C, D 两点, 且|AB| = 3 |CD|, 则r = . 5分
4. 4. 小颖同学去某健康主题公园沿环形步道跑步锻炼, 每周两次, 每次跑五圈 或六圈, 每周第一次跑五圈和六圈的概率都是0.5. 若第一次跑了五圈, 则 第二次跑五圈和六圈的概率分别为0.4 和0.6; 若第一次跑了六圈, 则第二 次跑五圈和六圈的概率分别为0.6 和0.4. 小颖同学一周共跑〸一圈的概 率为 ; 当小颖同学在一周内跑步不少于〸一圈时, 则认为这一周运 动量合格. 假设各周之间跑步圈数互不影响, 在4 周的跑步锻炼中, 以X 表示小颖同学运动量合格的周数, 则X 的数学期望为 . 5分
5. 5. 在△ABC 中, # » AD = 1 2 # » AB, # » CE = 1 3 # » CD. 记# » AB = a, # » AC = b, 用a 和b 表示# » AE = ; 若 # » AE  = 5, 且AE ⊥BC, 则# » AE · # » CD = . 5分
6. 6. 已知a, b ∈R, 且(2a + b) x2 + bx −a −1 ⩽0 对任意x ∈[−2, 2] 成立, 则 2a + b 的最小值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知a sin B = √ 3b cos A, c −2b = 1, a = √ 7. (1) 求角A 的大小; (2) 求c 的值; (3) 求sin (A + 2B) 的值.
2. 2. 已知正方体ABCD −A1B1C1D1 的棱长为4, E, F 分别为A1D1 和B1C1 的中点, G 在线段CC1 上, 且CG = 3GC1. (1) 求证: GF ⊥平面EBF; (2) 求平面EBF 和平面EBG 夹角的余弦值; (3) 求三棱锥D −EBF 的体积. A B C D E F G A1 B1 C1 D1 1215
3. 3. 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为1 2, 左焦点为F, 右顶点为 A, 点P 在直线x = a 上, 直线FP 的斜率为1 3, △PFA 的面积为3 2. (1) 求椭圆的方程; (2) 若过P 的直线与椭圆有唯一公共点B (B 异于A), 求证: FP 平分 ∠AFB.
4. 4. 已知等差数列{an} 和等比数列{bn} 满足a1 = b1 = 2, a2 = b2 + 1, a3 = b3. (1) 求{an} 和{bn} 的通项公式; (2) 给定n ∈N∗, 记集合I = {0, 1}, 集合Tn = {p1a1b1 + p2a2b2 + · · · + pnanbn | p1, p2, · · · , pn ∈I}. ①求证: 对任意的t ∈Tn, 有t < an+1bn+1; ②求Tn 中所有元素之和.
5. 5. 已知a ∈R, 函数f (x) = ax −(ln x)2. (1) 当a = 1 时, 求曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程; (2) 若f (x) 有三个零点x1, x2, x3, 且x1 < x2 < x3, ①求a 的取值范围; ②求证: (ln x2 −ln x1) ln x3 < 4e 1216

原卷配图（含真实几何/应用题图示）